Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sinωx，其中常數(shù)ω＞0．
（Ⅰ）若y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
（Ⅱ）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象求y=g（x）的圖象離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱中心．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得ω的范圍．
（Ⅱ）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，可得g（x）的圖象的對(duì)稱中心，從而求得g（x）的圖象離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱中心．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2sinωx在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上單調(diào)遞增，
∴ω•$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，∴0＜ω≤$\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）=2sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，
可得y=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）+1的圖象，
令2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=0，可得2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，
故g（x）的圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，1），k∈Z，
故g（x）的圖象離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱中心為（-$\frac{π}{6}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．