Question

3．如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為邊長2正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且$PD=2\sqrt{2}，CE=\sqrt{2}$． 
（1）若N為線段PB的中點，求證：EN⊥平面PDB．
（2）求平面PBE與平面ABCD所成的二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）證法1：連結(jié)AC與BD交于點F，連結(jié)NF，證明DB⊥AC，AC⊥PD，推出AC⊥面PBD，然后證明NE⊥面PDB．
證法2：如圖以點D為坐標(biāo)原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點坐標(biāo)，推出EN⊥PB，EN⊥DB，然后證明NE⊥面PDB．
（2）連結(jié)DN，證明DN⊥PB，求出平面PBE的法向量，求出平面ABCD的法向量，設(shè)平面PBE與平面ABCD所成的二面角為θ，利用數(shù)量積求解平面PBE與平面ABCD所成的二面角．

解答 （本題12分）
解：（1）證法1：連結(jié)AC與BD交于點F，連結(jié)NF，
∵F為BD的中點，∴NF∥PD且$NF=\frac{1}{2}PD$
又EC∥PD且$EC=\frac{1}{2}PD$，則NF∥EC且NF=EC
∴四邊形NFCE為平行四邊形∴NE∥FC------（2分）
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD------（4分）
∴NE⊥面PDB------（5分）
證法2：如圖以點D為坐標(biāo)原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示：則$B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2\sqrt{2}），E（0，2，\sqrt{2}），N（1，1，\sqrt{2}）$
則$\overrightarrow{EN}=（1，-1，0），\overrightarrow{PB}=（2，2，-2\sqrt{2}），\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$------（2分）
∵$\overrightarrow{EN}•\overrightarrow{PB}=1×2-1×2+0×（-2\sqrt{2}）=0$，$\overrightarrow{EN}•\overrightarrow{DB}=1×2-1×2+0×0=0$
∴EN⊥PB，EN⊥DB------（4分）
∵PB，DB?面PDB，且PB∩DB=B
∴NE⊥面PDB------（5分）
（2）連結(jié)DN，由（1）知NE⊥面PDB∴DN⊥NE，
∵$PD=DB=2\sqrt{2}$，∴DN⊥PB
∴$\overrightarrow{DN}$為平面PBE的法向量，且$\overrightarrow{DN}=（1，1，\sqrt{2}）$------（8分）
∵$\overrightarrow{DP}$為平面ABCD的法向量，$\overrightarrow{DP}=（0，0，2\sqrt{2}）$，------（9分）
設(shè)平面PBE與平面ABCD所成的二面角為θ，則$cosθ=\frac{{\overrightarrow{DN}•\overrightarrow{DP}}}{{|{\overrightarrow{DN}}||{\overrightarrow{DP}}|}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$------（11分）
∴θ=45°，即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°------（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查計算能力以及邏輯推理能力．