Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=-1，a₂=2，滿足S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2）
（1）求證：數(shù)列{a_n-a_n-1}為等差數(shù)列；
（2）求證：$\frac{1}{{a}_{n}+1}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$+…$\frac{1}{{a}_{2}+1}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）將條件移項(xiàng)，整理可得（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，即可證明數(shù)列{a_n-a_n-1}為等差數(shù)列；
（2）由（1）a_n-a_n-1=2n-1，利用疊加法可得a_n-a₁=3+…+（2n-1）=（n-1）（n+1），再裂項(xiàng)求和，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）∵S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2）
∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-a_n-1+2
∴a_n+1=2a_n-a_n-1+2
∴（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，
∵a₁=-1，a₂=2，
∴a₂-a₁=3，
∴數(shù)列{a_n-a_n-1}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）a_n-a_n-1=2n-1，
利用疊加法可得a_n-a₁=3+…+（2n-1）=（n-1）（n+1），
∴a_n+1=（n-1）（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+…+1-$\frac{1}{3}$）＜$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列的證明，考查裂項(xiàng)法求和，正確證明數(shù)列是等差數(shù)列是關(guān)鍵．