Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線上任一點．且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值的取值范圍是[-$\frac{3}{4}$c²，-$\frac{1}{2}$c²]，則該雙曲線的離心率的取值范圍為$\sqrt{2}$≤e≤2．

Answer 1

分析 由題意，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值的取值范圍是[-$\frac{3}{4}$c²，-$\frac{1}{2}$c²]，可得-$\frac{3}{4}$c²≤-（c-a）（c+a）≤-$\frac{1}{2}$c²，由此即可求出雙曲線的離心率的取值范圍．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值的取值范圍是[-$\frac{3}{4}$c²，-$\frac{1}{2}$c²]，
∴-$\frac{3}{4}$c²≤-（c-a）（c+a）≤-$\frac{1}{2}$c²，
∴$\frac{1}{4}$c²≤a²≤$\frac{1}{2}$c²，
∴$\sqrt{2}$≤e≤2，
故答案為：$\sqrt{2}$≤e≤2．

點評 本題考查雙曲線的離心率的取值范圍，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．