Question

13．在△ABC中，已知sin（A+B）=sinB+sin（A-B）．
（1）求∠A；
（2）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=20，求|$\overrightarrow{BC}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）將已知等式移項變形并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后根據(jù)sinB不為0，得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．
（2）由條件利用兩個向量數(shù)量積的定義求得AB•AC=40，再利用余弦定理、基本不等式，求得|$\overrightarrow{BC}$|的最小值．

解答 解：（1）原式可化為：sinB=sin（A+B）-sin（A-B）
=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，
∵B∈（0，π），∴sinB＞0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，∴∠A=60°．
（2）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=20，∴AB•AC•cos∠A=20，AB•AC=40．
則|$\overrightarrow{BC}$|=BC=$\sqrt{{AB}^{2}{+AC}^{2}-2AB•AC•cos60°}$≥$\sqrt{2AB•AC-AB•AC}$=$\sqrt{AB•AC}$=2$\sqrt{10}$，當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時，取等號，
即△ABC為等邊三角形時，|$\overrightarrow{BC}$|取得最小值為2$\sqrt{10}$．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式、平面向量的數(shù)量積運算法則，以及余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．