Question

11．已知函數f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集為{x|-4≤x≤8}，求實數a的值；
（Ⅱ）在（1）的條件下，對任意實數x都有f（x）≥m-f（-x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）≤6得，|x-a|≤6，解不等式，利用不等式f（x）≤6的解集為{x|-4≤x≤8}，求實數a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x-2|，令ϕ（x）=f（x）+f（-x），求出ϕ（x）的最小值為4，即可實數m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）≤6得，|x-a|≤6，
∴-6≤x-a≤6，即a-6≤x≤a+6，
∵不等式f（x）≤6的解集為{x|-4≤x≤8}，
∴a-6=-4，且a+6=8，
∴a=2…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x-2|，令ϕ（x）=f（x）+f（-x），
則$ϕ（x）=|{x-2}|+|{x+2}|=\left\{\begin{array}{l}-2x，x≤-1\\ 4，-1＜x≤1\\ 2x，x＞1\end{array}\right.$，
∴ϕ（x）的最小值為4，
故實數m的取值范圍是（-∞，4]…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．