Question

20．如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，點(diǎn)M是線段EC的中點(diǎn)．
（1）求證：BM∥平面ADEF；
（2）求證：平面BDE⊥平面BEC；
（3）求平面BDM與平面ABF所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取DE的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN．運(yùn)用中位線定理和平行四邊形的判斷和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；
（2）運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可得證；
（3）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE為x，y，z軸，建立空間的直角坐標(biāo)系，求得A，B，C，D，E，M的坐標(biāo)，運(yùn)用向量垂直的條件，求得平面BDM和平面ABF的法向量，再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 （1）證明：取DE的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN．
在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點(diǎn)，
則MN∥CD且$MN=\frac{1}{2}CD$．
由已知AB∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，
得MN∥AB，且MN=AB，四邊形ABMN為平行四邊形，BM∥AN，
因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF∴BM∥平面ADEF．
（2）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．又平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD．∴ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，
得$BC=2\sqrt{2}$．在△BCD中，$BD=BC=2\sqrt{2}$，CD=4，
可得BC⊥BD．又ED∩BD=D，故BC⊥平面BDE．
又BC?平面BEC，則平面BDE⊥平面BEC．
（3）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），
D（0，0，0），E（0，0，2）．
因?yàn)辄c(diǎn)M是線段EC的中點(diǎn)，
則M（0，2，1），$\overrightarrow{DM}=（{0，2，1}）$，又$\overrightarrow{DB}=（{2，2，0}）$．
設(shè)$\overrightarrow n=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$是平面BDM的法向量，
則$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow n=2{x_1}+2{y_1}=0$，$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow n=2{y_1}+{z_1}=0$．
取x₁=1，得y₁=-1，z₁=2，即得平面BDM的一個(gè)法向量為 $\overrightarrow n=（{1，-1，2}）$．
由題可知，$\overrightarrow{DA}=（{2，0，0}）$是平面ABF的一個(gè)法向量．
設(shè)平面BDM與平面ABF所成銳二面角為θ，
因此，$cosθ=|{\frac{{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{DA}}|•|{\overrightarrow n}|}}}|=|{\frac{2}{{2×\sqrt{1+1+4}}}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間的線面位置關(guān)系的證明，以及空間二面角的求法，注意運(yùn)用線面平行或垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查運(yùn)算和推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．