Question

1．已知函數(shù)y=f（x）與y=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f（x²-2x-3）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）．

Answer 1

分析 函數(shù)y=f（x）與y=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，可得f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$．利用二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）與y=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$．
∴f（x²-2x-3）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-2x-3）$，
由x²-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1．
x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴f（x²-2x-3）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），
故答案為：（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反函數(shù)的求法、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．