Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=x-1
（1）若|f（x）|=ag（x）只有三個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若當x∈R時，不等式f（x）≥a|g（x）|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）a∈（-∞，0]，求函數(shù)h（x）=f（x）+a|g（x）|在[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）若|f（x）|=ag（x）只有三個不同的解，構造函數(shù)F（x）=|f（x）|，H（x）=ag（x）=ax-a，利用數(shù)形結(jié)合即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若當x∈R時，不等式f（x）≥a|g（x）|恒成立，利用參數(shù)分離法進行求解即可，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)絕對值的應用，將函數(shù)h（x）表示為復合函數(shù)形式，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）∵|f（x）|=ag（x）只有三個不同的解，
令F（x）=|f（x）|，H（x）=ag（x）=ax-a，
做出函數(shù)F（x）的圖象如圖：

∵H（x）=ax-a過（1，0），
當a≥0時，顯然不成立，
當a＜0時，由圖象知：-2＜a＜0，
∴實數(shù)a的取值范圍為：-2＜a＜0；
（2）f（x）≥a|g（x）|恒成立，
∴（x+1）（x-1）≥a|x-1|，
當x≥1時，x+1≥a，則a≤2；
當x＜1時，-x-1≥a，a≤-2；
故a的范圍為a≤-2；
（3）當-2≤x≤1時，h（x）=）=f（x）+a|g（x）|=x²-1+a|x-1|=x²-1-ax+a=x²-ax+a-1，對稱軸為x=-$\frac{-a}{2}$=$\frac{a}{2}$≤0，
當1≤x≤2時，h（x）=）=f（x）+a|g（x）|=x²-1+a|x-1|=x²-1+ax-a=x²+ax-（a+1），對稱軸為x=$\frac{-a}{2}$=-$\frac{a}{2}$≥0，
∵h（1）=f（1）+a|g（1）|=0，
∴函數(shù)的最大值為max{h（2），h（-2）}，
h（2）=4+2a-a-1=a+3，h（-2）=4+2a+a-1=3a+3，
∵a≤0，∴h（2）＞h（-2），
即函數(shù)h（x）在在[-2，2]上的最大值為h（2）=a+3．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．