Question

20．已知函數f（x）=x²-1，g（x）=x-1
（1）若|f（x）|=ag（x）只有三個不同的解，求實數a的取值范圍；
（2）若當x∈R時，不等式f（x）≥a|g（x）|恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）a∈（-∞，0]，求函數h（x）=f（x）+a|g（x）|在[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）若|f（x）|=ag（x）只有三個不同的解，構造函數F（x）=|f（x）|，H（x）=ag（x）=ax-a，利用數形結合即可求實數a的取值范圍；
（2）若當x∈R時，不等式f（x）≥a|g（x）|恒成立，利用參數分離法進行求解即可，求實數a的取值范圍；
（3）根據絕對值的應用，將函數h（x）表示為復合函數形式，利用一元二次函數的性質進行求解即可．

解答 解：（1）∵|f（x）|=ag（x）只有三個不同的解，
令F（x）=|f（x）|，H（x）=ag（x）=ax-a，
做出函數F（x）的圖象如圖：

∵H（x）=ax-a過（1，0），
當a≥0時，顯然不成立，
當a＜0時，由圖象知：-2＜a＜0，
∴實數a的取值范圍為：-2＜a＜0；
（2）f（x）≥a|g（x）|恒成立，
∴（x+1）（x-1）≥a|x-1|，
當x≥1時，x+1≥a，則a≤2；
當x＜1時，-x-1≥a，a≤-2；
故a的范圍為a≤-2；
（3）當-2≤x≤1時，h（x）=）=f（x）+a|g（x）|=x²-1+a|x-1|=x²-1-ax+a=x²-ax+a-1，對稱軸為x=-$\frac{-a}{2}$=$\frac{a}{2}$≤0，
當1≤x≤2時，h（x）=）=f（x）+a|g（x）|=x²-1+a|x-1|=x²-1+ax-a=x²+ax-（a+1），對稱軸為x=$\frac{-a}{2}$=-$\frac{a}{2}$≥0，
∵h（1）=f（1）+a|g（1）|=0，
∴函數的最大值為max{h（2），h（-2）}，
h（2）=4+2a-a-1=a+3，h（-2）=4+2a+a-1=3a+3，
∵a≤0，∴h（2）＞h（-2），
即函數h（x）在在[-2，2]上的最大值為h（2）=a+3．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數分離法結合一元二次函數的單調性的性質是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．