Question

5．判斷下列方程在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，8）上是否存在實數解，并說明理由．
（1）$\frac{2}{x}$+2x=0；
（2）log₂x+3x-2=0．

Answer 1

分析 （1）轉化為一元二次方程進行求解判斷．
（2）構造函數，利用函數零點的判斷條件進行判斷即可．

解答 解：（1）方程$\frac{2}{x}$+2x=0等價為2+2x²=0，即x²=-1，此時方程無解，故在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，8）上是不存在實數解．
（2）設f（x）=log₂x+3x-2，則函數在（$\frac{1}{2}$，8）上為增函數，
則f（$\frac{1}{2}$）=log₂$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{2}$-2=-1+$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{3}{2}$＜0，
f（8）=log₂8+3×8-2=3+24-2=25＞0，
則函數在（$\frac{1}{2}$，8）上存在唯一的一個零點，即方程在（$\frac{1}{2}$，8）上存在實數解．

點評 本題主要考查函數與方程的應用，利條件轉化為函數，結合函數零點的判斷條件是解決本題的關鍵．