Question

10．若圖中的三個直角三角形是一個體積為20cm³的幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面積為（　　）

• A． 25xcm²
• B． $\frac{77π}{2}$cm²
• C． 77πcm²
• D． 144πcm²

Answer 1

分析 根據幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面直角三角形，側棱垂直底面的三棱錐，結合圖形求出高h，可得幾何體外接球的半徑R=$\frac{\sqrt{77}}{2}$，即可求出幾何體外接球的表面積．

解答 解：根據幾何體的三視圖，得：
該幾何體是底面為直角三角形，側棱PA⊥底面ABC的三棱錐，如圖所示；
∴底面ABC的面積為$\frac{1}{2}$×5×6=15；
該三棱錐的體積為$\frac{1}{3}$×15×h=20，
解得h=4，
∴幾何體外接球的直徑2R=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{77}$，
∴幾何體外接球的半徑R=$\frac{\sqrt{77}}{2}$，
∴幾何體外接球的表面積為4πR²=77πcm²．
故選：C．

點評 本題考查了空間幾何體的三視圖的應用問題，解題時應畫出圖形，結合圖形解答問題，是基礎題目．