Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，a_n＞0，且滿足a_n+1²-a_n=a_n+1+a_n²（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}={2^n}•{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)${C_n}={4^n}-λ•{2^{a_n}}$（λ為正偶數(shù)，n∈N^*），是否存在確定λ的值，使得對任意n∈N^*，有C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將條件化簡可得a_n+1-a_n=1，再由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）求得${b_n}={2^n}•（n+1）$，再議數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和；
（3）求得a_n=n+1，${C_n}={4^n}-λ•{2^{n+1}}$，要使C_n+1＞C_n恒成立，運(yùn)用作差法，再由參數(shù)分離，求得右邊的最小值即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由已知可得，$（{a_{n+1}}+{a_n}）•（{a_{n+1}}-{a_n}）=（{a_{n+1}}+{a_n}）（n∈{N^*}）$，且a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=1（n∈N*），且a₂-a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n+1；                         
（2）由（1）知${b_n}={2^n}•（n+1）$，
設(shè)它的前n項(xiàng)和為T_n
∴T_n=2•2¹+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，
2T_n=2•2²+3•2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得：$-{T_n}=2×{2^1}+{2^2}+{2^3}+…+{2^{n-1}}+{2^n}-（n+1）×{2^{n+1}}=-n•{2^{n+1}}$
所以${T_n}=n•{2^{n+1}}$；
（3）∵a_n=n+1，∴${C_n}={4^n}-λ•{2^{n+1}}$，
要使C_n+1＞C_n恒成立，
則${C_{n+1}}-{C_n}={4^{n+1}}-{4^n}-λ•{2^{n+2}}+λ•{2^{n+1}}＞0$恒成立，
∴3•4ⁿ-λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴λ＜3•2^n-1恒成立．                              
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，3•2^n-1有最小值為3，∴λ＜3．又λ為正偶數(shù)，則λ=2．
即存在λ=2，使得對任意n∈N^*，都有C_n+1＞C_n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查恒成立問題的解法，注意運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．