Question

20．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分別是所在棱的中點(diǎn)．
（1）證明：平面MNE⊥平面D₁DE；
（2）證明：MN∥平面D₁DE．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出NE⊥DE，NE⊥DD₁，從而NE⊥平面D₁DE，由此能證明平面MNE⊥平面D₁DE．
（2）推導(dǎo)出AB∥DE，從而AB∥平面D₁DE，進(jìn)而B(niǎo)B₁∥平面D₁DE，平面ABB₁A₁∥平面D₁DE，由此能證明MN∥平面D₁DE．

解答 證明：（1）由等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中點(diǎn)，∴NE⊥DE，
又NE⊥DD₁，且DD₁∩DE=D，
∴NE⊥平面D₁DE，
又NE?平面MNE，
∴平面MNE⊥平面D₁DE．…（6分）
（2）等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中點(diǎn)，∴AB∥DE，∴AB∥平面D₁DE，
又DD₁∥BB₁，則BB₁∥平面D₁DE，
又AB∩BB₁=B，∴平面ABB₁A₁∥平面D₁DE，
又MN?平面ABB₁A₁，∴MN∥平面D₁DE．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．