Question

4．已知函數(shù)$f（x）=2sin（{ωx+\frac{π}{6}}）（{ω＞0}）$的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．關(guān)于函數(shù)g（x），下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 在$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上是增函數(shù)
• B． 其圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{4}$對(duì)稱
• C． 函數(shù)g（x）是奇函數(shù)
• D． 當(dāng)$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$時(shí)，函數(shù)g（x）的值域是[-2，1]

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出函數(shù)的周期，進(jìn)一步得到ω，則三角函數(shù)的解析式可求，再由圖象平移得到g（x）的解析式，畫出其圖象，則答案可求．

解答 解：∵f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，則T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=2$sin[2（x+\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]=2sin（2x+\frac{π}{2}）$=2cos2x．
其圖象如圖：

由圖可知，函數(shù)在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是減函數(shù)，A錯(cuò)誤；
其圖象的對(duì)稱中心為（$-\frac{π}{4}，0$），B錯(cuò)誤；
函數(shù)為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；
$2cos（2×\frac{π}{6}）=1$，$2cos（2×\frac{2π}{3}）=-1$，
∴當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]時(shí)，函數(shù)g（x）的值域是[-2，1]，D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確畫出圖象對(duì)解決問(wèn)題起到事半功倍的作用，是中檔題．