Question

13．若函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，且當x₁，x₂∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），x₁≠x₂時，f（x₁）=（x₂），則f（x₁+x₂）=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)對稱軸列出方程解出φ得到f（x）的解析式，根據(jù)對稱性可知x₁+x₂=$\frac{π}{6}$．

解答 解：令2x+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$+$\frac{kπ}{2}$．
∴f（x）的對稱軸為x=$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$+$\frac{kπ}{2}$．
令$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$+$\frac{kπ}{2}$．解得φ=$\frac{π}{3}$+kπ．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵f（x）關(guān)于x=$\frac{π}{12}$對稱，當x₁，x₂∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），x₁≠x₂時，f（x₁）=（x₂），
∴x₁+x₂=$\frac{π}{6}$．
∴f（x₁+x₂）=f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．