Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線x-y+2$\sqrt{2}$=0與圓x²+y²=r²（r＞0）交于A、B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為圓上一點(diǎn)，若$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，則r=4．

Answer 1

分析 由已知得r²=r²+r²+2r²cos∠AOB，從而∠AOB=120°，求出圓心（0，0）到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離，由此能求出半徑r．

解答 解：∵直線x-y+2$\sqrt{2}$=0與圓x²+y²=r²（r＞0）交于A、B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為圓上一點(diǎn)，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴${\overrightarrow{OC}}^{2}={\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}•cos∠AOB$，
∴r²=r²+r²+2r²cos∠AOB，
解得∠AOB=120°，
∵圓心（0，0）到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離d=$\frac{|0-0+2\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1}}$=2，
∴r=2d=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的半徑的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．