Question

14．過點（$\sqrt{2}$，0）引直線l與曲線y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積最大時，直線l的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 通過曲線方程確定曲線表示單位圓在x軸上方的部分（含于x軸的交點），直線與曲線有兩個交點，且直線不與x軸重合，從而確定直線斜率-1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面積，利用二次函數(shù)求最值，確定直線斜率k的值．

解答 解：由y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$得x²+y²=1（y≥0）
∴曲線y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$表示単位圓在x軸上方的部分（含于x軸的交點）
由題知，直線斜率存在，設直線l的斜率為k，
若直線與曲線有兩個交點，且直線不與x軸重合，則-1＜k＜0
∴直線l的方程為：y-0=k（x-$\sqrt{2}$），即kx-y-$\sqrt{2}$k=0
則圓心O到直線l的距離d=$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
直線l被半圓所截得的弦長為|AB|=2$\sqrt{1-（\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$×$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
令$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=t，則S=$\sqrt{-4{t}^{2}+6t-2}$
當t=$\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$時，S_△AOB有最大值為$\frac{1}{2}$
此時，∵-1＜k＜0，∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，利用數(shù)形結合，二次函數(shù)求最值等思想進行解答．