Question

16．設函數(shù)f（x）=|2x-1|，函數(shù)g（x）=f（f（x））-log_a（x+1），（a＞0，a≠1）在[0，1]上有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （1，2）
• C． （$\frac{3}{2}$，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 作出兩個函數(shù)的圖象，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1，x≥\frac{1}{2}}\\{-2x+1，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（f（x））=|2|2x-1|-1|=$\left\{\begin{array}{l}{4x-3，x＞\frac{3}{4}}\\{-4x+3，\frac{1}{2}＜x≤\frac{3}{4}}\\{4x-1，\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}}\\{-4x+1，x≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$
分別畫出y=f（f（x））與y=log_a（x+1）的圖象，
∵y=log_a（x+1）的圖象是由y=log_ax的圖象向左平移一個單位得到的，且過點（0，0），
當x=1時，y=f（f（1））=1，
此時log_a（1+1）=1，解得a=2，有4個交點，
當x=$\frac{1}{2}$時，y=f（f（$\frac{1}{2}$））=1，
此時log_a（$\frac{1}{2}$+1）=1，解得a=$\frac{3}{2}$，有2個交點，
綜上所述a的取值范圍為（$\frac{3}{2}$，2）
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)交點個數(shù)的判斷以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．