Question

7．已知0＜a＜1，f（a^x）=x+$\frac{1}{x}$
（1）求f（x）的解析式，并求出f（x）的定義域
（2）判斷并證明f（x）在[$\frac{1}{a}$+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）換元，令a^x=t（t＞0），可得到x=log_at，從而得出$f（t）=lo{g}_{a}t+\frac{1}{lo{g}_{a}t}$，將t換上x即可得出f（x）的解析式，并可求出f（x）的定義域；
（2）求導數(shù)$f′（x）=\frac{1}{xlna}[1-\frac{1}{（lo{g}_{a}x）^{2}}]$，根據(jù)0＜a＜1和x$≥\frac{1}{a}$便可判斷導數(shù)符號，從而判斷出f（x）在$[\frac{1}{a}，+∞）$上的單調(diào)性．

解答 解：（1）設a^x=t（t＞0），x=log_at；
∴$f（t）=lo{g}_{a}t+\frac{1}{lo{g}_{a}t}$；
∴$f（x）=lo{g}_{a}x+\frac{1}{lo{g}_{a}x}$，x＞0，且x≠1；
即f（x）的定義域為{x|x＞0，且x≠1}；
（2）$f′（x）=\frac{1}{xlna}-\frac{1}{xlna•（lo{g}_{a}x）^{2}}$=$\frac{1}{xlna}[1-\frac{1}{（lo{g}_{a}x）^{2}}]$；
∵$0＜a＜1，x≥\frac{1}{a}$；
∴$lo{g}_{a}x≤lo{g}_{a}\frac{1}{a}=-1$；
∴$（lo{g}_{a}x）^{2}≥1$；
∴$\frac{1}{（lo{g}_{a}x）^{2}}≤1$，$1-\frac{1}{（lo{g}_{a}x）^{2}}≥0$；
又x＞0，lna＜0；
∴f′（x）≤0；
∴f（x）在$[\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減．

點評 考查換元法求函數(shù)的解析式，函數(shù)定義域的概念及求法，根據(jù)導數(shù)符號判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法，不等式的性質，指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及復合函數(shù)導數(shù)的求法．