Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E為PA的中點(diǎn)，M在PD上．
（I）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）若$\frac{PM}{PD}=λ$，則當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEM⊥平面PAB？
（Ⅲ）在（II）的條件下，求證：PC∥平面BEM．

Answer 1

分析 （I）由平面PAB⊥平面ABCD可得AD⊥平面PAB，進(jìn)而得出AD⊥PB；
（II）由AD⊥平面PAB可知當(dāng)EM∥AD時(shí)，平面BEM⊥平面PAB，故EM為△PAD的中位線，所以λ=$\frac{1}{2}$；
（III）設(shè)CD的中點(diǎn)為F，連接BF，F(xiàn)M，則可證BF∥AD∥EM，故FM?平面BEM，由中位線定理得PC∥FM，從而PC∥平面BEM．

解答 （I）證明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴AD⊥平面PAB．又PB?平面PAB，
∴AD⊥PB．
（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E為PA的中點(diǎn)，
當(dāng)M為PD的中點(diǎn)時(shí)，EM∥AD，
∴EM⊥平面PAB，∵EM?平面BEM，
∴平面BEM⊥平面PAB．
此時(shí)，$λ=\frac{1}{2}$．
（III）設(shè)CD的中點(diǎn)為F，連接BF，F(xiàn)M
由（II）可知，M為PD的中點(diǎn)．
∴FM∥PC．
∵AB∥FD，F(xiàn)D=AB，
∴ABFD為平行四邊形．
∴AD∥BF，又∵EM∥AD，
∴EM∥BF．
∴B，E，M，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
∴FM?平面BEM，又PC?平面BEM，
∴PC∥平面BEM．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)，線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題．