Question

16．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，焦點(diǎn)為F，且|MF|=4．直線l：y=2x-4與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若直線l₁∥l，且直線l₁與拋物線C相切于點(diǎn)P，求直線l₁的方程及△ABP的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的定義得$\frac{p}{2}+3=4$，求出p，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，求出|AB|，利用直線l₁與拋物線C相切，求出直線l₁的方程，求出直線l₁與l的距離，即可求△ABP的面積．

解答 解：（Ⅰ）依題意得$\frac{p}{2}+3=4$，所以p=2，
所以拋物線方程為C：y²=4x； …（3分）
（Ⅱ）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
消去x得y²-2y-8=0，
從而$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=2\\{y_1}{y_2}=--8\end{array}\right.$，
由弦長(zhǎng)公式得$|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=3\sqrt{5}$，…（6分）
設(shè)直線l₁的方程為y=2x+b，…（7分）
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=2x+b\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得y²-2y+2b=0，…（8分）
由△=4-8b=0得$b=\frac{1}{2}$，所以直線l₁的方程為$y=2x+\frac{1}{2}$，…（10分）
直線l₁與l的距離為$\frac{{|\frac{1}{2}+4|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{9\sqrt{5}}}{10}$，…（11分）
所以${S_{△ABP}}=\frac{1}{2}×\frac{{9\sqrt{5}}}{10}×3\sqrt{5}=\frac{27}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，正確求出拋物線的方程是關(guān)鍵．