Question

5．已知圓O：x²+y²=4，點(diǎn)A為圓O與x軸正半軸交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B（-4，0）的直線與圓O交于P、Q兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)A），則S_△APQ的最大值為3．

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為y=k（x+4），與圓的方程聯(lián)立，求出|PQ|，A到直線的距離，表示出面積，換元，配方，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線方程為y=k（x+4），即kx-y+4k=0，
與圓的方程聯(lián)立，可得（1+k²）x²+8k²x+16k²-4=0，
∴|PQ|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{（-\frac{8{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{16{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{16-48{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
A到直線的距離d=$\frac{|6k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△APQ=12$\sqrt{\frac{{k}^{2}-3{k}^{4}}{（{k}^{2}+1）^{2}}}$，
設(shè)1+k²=t（t＞1），S_△APQ=12$\sqrt{-4（\frac{1}{t}-\frac{7}{8}）^{2}+\frac{1}{16}}$，
∴t=$\frac{8}{7}$時(shí)，S_△APQ的最大值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．