Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y＝x（2）a≤

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解．（2）當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0恒成立；當(dāng)0＜x≤時(shí)分離參數(shù)可得在上恒成立，設(shè)g(x)＝，x∈(0， ]，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g(x)的最小值為g()＝，故可得a≤，即為所求范圍．

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>f(x)＝exsinx－ax2，

所以f(x)＝ex(cosx＋sinx)－2ax，

故f(0)＝1．

又f(0)＝0，

故所求切線方程為y＝ x．

（2）①當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0在區(qū)間上恒成立．

②當(dāng)0＜x≤時(shí)，由得在上恒成立．

令g(x)＝，x∈(0， ]，

則g(x)＝．

令G(x)＝x(sinx＋cosx)－2sinx，x∈(0， ]，

則G(x)＝(cosx－sinx)(x－1)，

故當(dāng)0＜x＜時(shí)，G(x)＜0，G(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)＜x＜1時(shí)，G(x)＞0，G(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)1＜x≤時(shí)，G(x)＜0，G(x)單調(diào)遞減，

又G(0)＝0，G(1)＝cos1－sin1＜0，

所以G(x)＜0，

所以g(x)＜0，

所以g(x)在(0， ]上單調(diào)遞減，

所以g(x)≥g()＝，

故a≤．

綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為．