Question

15．已知圓C經(jīng)過兩點A（（-1，0）和B（1，2），且圓心在x軸上，
（1）求圓C的方程
（2）試直接寫出經(jīng)過點M（-1，-2），并且與圓C相切的直線l的方程（不用寫出過程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設圓心為C（a，0），由兩點的距離公式建立關(guān)于a的方程，解出a=1，從而算出圓心坐標和半徑R，即可得到所求圓的標準方程．
（2）設出切線方程，求出圓的圓心與半徑，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出k，寫出切線方程即可．

解答 解：（1）設圓心為C（a，0）
由兩點的距離公式，得|CA|=|a+1|，|CB|=$\sqrt{（a-1）^{2}+4}$
∵兩點A（（-1，0）和B（1，2）在圓上
∴|CA|=|CB|，得$\sqrt{（a-1）^{2}+4}$=|a+1|，
解之得a=1，可得圓心C（1，0），半徑R=2
因此可得所求圓的方程為（x-1）²+y²=4；
（2）設切線方程為y+2=k（x+1），即kx-y+k-2=0，
∵圓心（1，0）到切線l的距離等于半徑2，
∴$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=0，
∴切線方程為y+2=0，
當過點M的直線的斜率不存在時，其方程為x=-1，圓心（1，0）到此直線的距離等于半徑2，
故直線x=-1也適合題意．
所以，所求的直線l的方程是y+2=0或x=-1．

點評 本題給出圓心在定點且經(jīng)過兩點的圓的方程，著重考查了兩點的距離公式和圓的標準方程的知識，考查圓的切線方程的求法，屬于中檔題．