Question

13．已知函數(shù)f（x）=x-x^-1．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若x∈（1，+∞）時，總有f（x）≥m成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用函數(shù)的奇偶性的定義，即可判斷證明；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，說明f（x）在x＞1上的單調(diào)性，由恒成立思想求得m≤f（1）=0．

解答 解：（1）f（x）在x≠0上為奇函數(shù)．
f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}關(guān)于原點(diǎn)對稱，
f（-x）=-x-$\frac{1}{-x}$=-（x-$\frac{1}{x}$）=-f（x），
即有f（x）為奇函數(shù)；
（2）當(dāng)x＞1時，f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，f（x）遞增，
即有f（x）＞f（1）=0，
f（x）≥m恒成立，
即有m≤f（1）=0．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，0]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和單調(diào)性的判斷及運(yùn)用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用單調(diào)性解決，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．