Question

5．已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）為直線l上一定點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，求直線AB的方程，并證明直線AB過定點(diǎn)Q．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$\frac{|0-c-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，由此能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，x₀-2），設(shè)切點(diǎn)為（x，$\frac{{x}^{2}}{4}$），曲線C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，y′=$\frac{x}{2}$，從而x²-2x₀x+4x₀-8=0，由此能求出直線AB為x₀x-2y-2y₀=0，并能證明直線AB過定點(diǎn)Q（2，2）．

解答 解：（Ⅰ）∵拋物線C的焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{|0-c-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
解得c=1或c=-5，（舍），
∴拋物線C的方程為x²=4y．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，x₀-2），設(shè)切點(diǎn)為（x，$\frac{{x}^{2}}{4}$），曲線C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，y′=$\frac{x}{2}$，
則切線的斜率為$\frac{\frac{{x}^{2}}{4}-（{x}_{0}-2）}{x-{x}_{0}}$=y′=$\frac{x}{2}$，
化簡，得x²-2x₀x+4x₀-8=0，
設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），則x₁，x₂是以上方程的兩根，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4x₀-8，
k_AB=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$，
直線AB為：y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$（x-x₁），
化簡，得：x₀x-2y-2y₀=0，定點(diǎn)Q（2，2）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線C的方程的求法，考查直線AB的方程的求法，考查直線AB過定點(diǎn)Q的證明，屬于中檔題．