Question

5．如圖，P為⊙O外一點，PC交⊙O于F，C，PA切⊙O于A，B為線段PA的中點，BC交⊙O于D，線段PD的延長線與⊙O交于E，連接FE．求證：
（Ⅰ）△PBD∽△CBP；
（Ⅱ）AP∥FE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由切割線定理得BA²=BD•BC，從而PB²=BD•BC，由此能證明△PBD∽△CBP．
（Ⅱ）由三角形相似得∠BPD=∠C，從而∠BPD=∠E，由此能證明AP∥FE．

解答 （本小題滿分10分）【選修4-1：幾何證明選講】
證明：（Ⅰ）如圖，∵PA切⊙O于A，∴BA²=BD•BC，
∵B為線段PA的中點，∴PB=BA，
∴PB²=BD•BC，即$\frac{PB}{BD}=\frac{BC}{PB}$，
∵∠PBD=∠CBP，∴△PBD∽△CBP．…（5分）
（Ⅱ）∵△PBD∽△CBP，∴∠BPD=∠C，
∵∠C=∠E，∴∠BPD=∠E，
∴AP∥FE．…（10分）

點評 本題考查三角形相似的證明，考查兩直線平行的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．