Question

14．設(shè)點M（x，y），其軌跡為曲線C，若$\overrightarrow{a}$=（x-2，y），$\overrightarrow$=（x+2，y），||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||=2，則曲線C的離心率等于2．

Answer 1

分析 由題意可得|$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$|=2，即有M到兩定點（-2，0），（2，0）的距離的差的絕對值為常數(shù)2，由雙曲線的定義可得M的軌跡為以定點為焦點的雙曲線，求得c=2，a=1，運用離心率公式即可得到所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（x-2，y），$\overrightarrow$=（x+2，y），||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||=2，
可得|$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$|=2，
即有M到兩定點（-2，0），（2，0）的距離的差的絕對值為常數(shù)2，
由雙曲線的定義可得M的軌跡為以（-2，0），（2，0）為焦點，實軸長為2的雙曲線，
由c=2，a=1，可得e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的定義，求得a，c，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．