Question

4．已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點B（0，1），M（2，t）（t＞0）是動點
（1）求橢圓的標準方程
（2）設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值
（3）設點P（x，y）在橢圓上，求x+y的最大、最小值．

Answer 1

分析 （1）橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點B（0，1），求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）由平幾知|ON|²=|OK||OM|，直線OM：y=$\frac{t}{2}$x，直線FN：y=-$\frac{2}{t}$（x-1），聯(lián)立得x_K=$\frac{4}{{t}^{2}+4}$．由此能證明線段ON的長為定值．
（3）利用橢圓的參數(shù)方程，即可得出結論．

解答 （1）解：∵橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點B（0，1），
∴b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而a=$\sqrt{2}$．…（2分）
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（2）證明：由平幾知：|ON|²=|OK||OM|，（K為垂足）
直線OM：y=$\frac{t}{2}$x，直線FN：y=-$\frac{2}{t}$（x-1），聯(lián)立得x_K=$\frac{4}{{t}^{2}+4}$．
∴|ON|²=$\sqrt{（1+\frac{{t}^{2}}{4}）{x}_{K}}$•$\sqrt{（1+\frac{{t}^{2}}{4}）{x}_{M}}$=（1+$\frac{{t}^{2}}{4}$）•$\frac{4}{{t}^{2}+4}$•2=2．
∴線段ON的長為定值$\sqrt{2}$． …（8分）
（3）解：設x=$\sqrt{2}$cosα，y=sinα，則x+y=$\sqrt{2}$cosα+sinα=$\sqrt{3}$sin（α+θ），
∴x+y的最大、最小值分別為$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$． …（12分）

點評 本題考查橢圓的方程與運用，考察平面幾何知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．