Question

11．如圖，在底面為平行四邊形的棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2AA₁=2，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，則四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線AC₁的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\sqrt{14}$
• B． 4
• C． $\sqrt{17}$
• D． $\sqrt{19}$

Answer 1

分析 做出AC₁在底面的射影，利用勾股定理解出．

解答 解：連結(jié)AC，過(guò)C₁作AC的垂線，交AC延長(zhǎng)線于M，過(guò)A₁作AE⊥AB，垂足為E，作A₁N⊥AC，垂足為N，連結(jié)NE，則NE⊥AB．
∴AE=AA₁cos∠A₁AB=$\frac{1}{2}$，∠EAN=$\frac{1}{2}∠$BAD=30°，∴NE=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，AN=2NE=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，A₁N=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-A{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$∴CM=AN=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，C₁M=A₁N=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BCcos120°}$=2$\sqrt{3}$．∴AM=AC+CM=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．
∴AC₁=$\sqrt{A{M}^{2}+{C}_{1}{M}^{2}}$=$\sqrt{17}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，空間距離的計(jì)算，構(gòu)造合適的三角形是關(guān)鍵．