Question

1．函數(shù)f（x）=4lnx+bx²圖象上點x=1處的切線方程2x-y+3=0平行．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
（3）函數(shù)g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在[$\frac{1}{e}$，2]上恰有兩解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)的運算法則可得f′（x），求得切線的斜率，由兩直線平行的條件，解方程可得b，進而得到f（x）的解析式；
（2）分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出其單調區(qū)間；
（3）利用導數(shù)的運算法則可得g′（x），求出單調區(qū)間，要滿足條件，則g（x）_max＞0，g（$\frac{1}{e}$）≤0，g（2）≤0，解不等式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=4lnx+bx²，
∴f′（x）=$\frac{4}{x}$+2bx，
∵f（x）的圖象上點x=1處的切線方程2x-y+3=0平行，
∴4+2b=2，解得b=-1，
即有f（x）=4lnx-x²；
（2）∵函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∴由（1）有f′（x）=$\frac{4}{x}$-2x，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{2}$；
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{2}$．
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（0，$\sqrt{2}$）；單調減區(qū)間是（$\sqrt{2}$，+∞）；
（3）由（1）可知：g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4（x＞4），
∴g′（x）=$\frac{4}{x}$-2x=-$\frac{-2（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{x}$，
令g′（x）=0，解得x=$\sqrt{2}$．
∴當$\frac{1}{e}$＜x＜$\sqrt{2}$時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
$\sqrt{2}$＜x＜2時g′（x）＜0，g（x）遞減．
可得函數(shù)的大致圖象：
由圖象可知：要使方程g（x）=0在[$\frac{1}{e}$，2]上恰有兩解，
則$\left\{\begin{array}{l}{m-2＞0}\\{g（\frac{1}{e}）≤0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤4+2ln2+\frac{1}{{e}^{2}}}\\{m≤4-2ln2}\end{array}\right.$，
解得2＜m≤4-2ln2，
∴實數(shù)m的取值范圍是（2，4-2ln2]．

點評 熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值、導數(shù)的幾何意義等是解題的關鍵．