Question

9．已知△ABC的周長為$\sqrt{2}$+1，且sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC．
（1）求邊AB的長．
（2）若△ABC的面積為$\frac{1}{6}$sinC，求三個(gè)內(nèi)角C，A，B的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理化簡$sinA+sinB=\sqrt{2}sinC$，得到a，b和c的關(guān)系式，再由三角形的周長為$\sqrt{2}+1$又得到a，b和c的關(guān)系式，兩者聯(lián)立即可求出AB的值；
（2）利用三角形的面積公式先求出C的大小，然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ABC的周長為$\sqrt{2}$+1，且sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC．
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得：a+b=$\sqrt{2}$c，且a+b+c=$\sqrt{2}$+1，
∴$\sqrt{2}$c+c=$\sqrt{2}$+1，
∴c=1；即AB=1．
（2）∵△ABC的面積為$\frac{1}{6}$sinC，
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{6}$sinC，
∴ab=$\frac{1}{3}$，
∵c=1，∴a+b=$\sqrt{2}$，
由余弦定理得：
cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{（a+b）}^{2}-2ab-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2-2×\frac{1}{3}-1}{2×\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
又C∈（0，180°），
則C=60°．
∵sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴sinA+sin（120°-A）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即sin（A+30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則A+30°=45°或A+30°=135°，
即A=15°，B=105°或A=105°，B=15°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用以及靈活運(yùn)用三角形的面積公式化簡求值，是一道中檔題．