Question

1．對(duì)任意x∈R，xe^x-a＞0為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 若對(duì)任意x∈R，xe^x-a＞0為假命題，則存在x∈R，xe^x≤a為真命題，構(gòu)造函數(shù)f（x）=xe^x，利用導(dǎo)數(shù)法求出其最小值，可得答案．

解答 解：∵對(duì)任意x∈R，xe^x-a＞0為假命題，
∴存在x∈R，xe^x-a≤0為真命題，
即存在x∈R，xe^x≤a為真命題，
令f（x）=xe^x，則f′（x）=（1+x）e^x，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞-1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
故當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取最小值-$\frac{1}{e}$，
則-$\frac{1}{e}$≤a，
即a的取值范圍為[-$\frac{1}{e}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，屬于中檔題．