Question

13．已知四棱錐P一ABCD，如圖所示，其中平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA=AB=BC=AC=4，線段AC被線段BD平分．
（I）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ACD=30°，求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，即可求二面角A-PC-B的余弦值．

解答 證明：（I）∵平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AB=BC=AC=4，線段AC被線段BD平分，
∴BD⊥AC，
∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）由（I）得BD⊥平面PAC，
則過E作EF⊥PC于F，連接BF，
則BF⊥PC，
即∠EFB是二面角A-PC-B的平面角，
∵AB=BC=AC=4，線段AC被線段BD平分，
∴CE=2，BE=2$\sqrt{3}$，
∵PA=AC=4，
∴∠PCA=45°，
則EF=CFcos45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
則BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
即cos∠EFB=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
即二面角A-PC-B的余弦值是$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直和線面垂直的判斷以及二面角的求解，利用二面角平面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．本題也可以使用向量法進(jìn)行求解．