Question

4．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABCD，B₁C=CD=2，BB₁=2$\sqrt{2}$．
（1）求證：平面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁CD．
（2）求直線BD₁與平面A₁B₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出CD⊥CB，CD⊥B₁C，由此能證明CD⊥平面BCC₁B₁，從而平面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁CD．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BD₁與平面A₁B₁CD所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABCD，
∴CD⊥CB，∵側(cè)面BCC₁B₁∩底面ABCD=BC，∴CD⊥側(cè)面BCC₁B₁，
∵B₁C?側(cè)面BCC₁B₁，∴CD⊥B₁C，
又DC⊥BC，B₁C∩BC=C，∴CD⊥平面BCC₁B₁，
∵CD?平面A₁B₁CD，∴平面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁CD．
解：（2）∵B₁C=CD=2，BB₁=2$\sqrt{2}$，底面ABCD是正方形，
∴BC=CD=2，BC²+B₁C²=BB₁²，∴BC⊥B₁C，
∵側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABCD，∴B₁C⊥底面ABCD，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（2，2，0），D₁（-2，0，2），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-4，-2，2），
平面A₁B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設(shè)直線BD₁與平面A₁B₁CD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{24}•1}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直線BD₁與平面A₁B₁CD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．