Question

5．如圖，設(shè)A是棱長(zhǎng)為a的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，過從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，截面與正方體各面共同圍成一個(gè)多面體，則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 此多面體的表面積為$\frac{47}{8}$a²
• B． 體對(duì)角線AC₁垂直于截面
• C． 截面平行于平面CB₁D₁
• D． 有10個(gè)頂點(diǎn)

Answer 1

分析 分別求出所得多面體的表面積，頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，并判斷截面與體對(duì)角線AC₁及平面CB₁D₁的位置關(guān)系，可得答案．

解答 解：棱長(zhǎng)為a的正方體按題意所截得的多面體的表面積S=$6{a}^{2}-3×\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}a）^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}$=$\frac{45+\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$，故A錯(cuò)誤；
根據(jù)正方體的幾何特征可得：截面平行于平面CB₁D₁，故C正確；
由體對(duì)角線AC₁垂直于平面CB₁D₁，可得體對(duì)角線AC₁垂直于截面，故B正確；
截面切除了一個(gè)A頂點(diǎn)，產(chǎn)生了三個(gè)頂點(diǎn)，故所得多面體有10個(gè)頂點(diǎn)，故D正確；　
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了正方體的幾何特征，多面體的表面積運(yùn)算，難度中檔．