Question

17．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，若E為棱AB的中點，
①求四棱錐B₁-BCDE的體積
②求證：面B₁DC⊥面B₁DE．

Answer 1

分析 ①由正方形的性質(zhì)和四棱錐的體積公式結(jié)合已知數(shù)據(jù)可得；
②取B₁D的中點O，設(shè)BC₁∩B₁C=F，連接OF，可先證明OE⊥平面B₁DC，再證明面面垂直．

解答 證明：①由正方形的性質(zhì)可得B₁B平面BEDC，
∴四棱錐B₁-BCDE的體積V=$\frac{1}{3}$•S_梯形BCDE•B₁B=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$（a+$\frac{1}{2}$a）•a•a=$\frac{{a}^{3}}{4}$；
②取B₁D的中點O，設(shè)BC₁∩B₁C=F，連接OF，
∵O，F(xiàn)分別是B₁D與B₁C的中點，∴OF∥DC，且OF=$\frac{1}{2}$DC，
又∵E為AB中點，∴EB∥DC，且EB=$\frac{1}{2}$DC，
∴OF∥EB，OF=EB，即四邊形OEBF是平行四邊形，∴OE∥BF，
∵DC⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，∴BC₁⊥DC，∴OE⊥DC．
又BC₁⊥B₁C，∴OE⊥B₁C，又∵DC?平面B₁DC，B₁C?平面B₁DC，DC∩B₁C=C，
∴OE⊥平面B₁DC，又∵OE?平面B₁DE，∴平面B₁DC⊥面B₁DE．

點評 本題考查幾何體的體積求解和平面與平面垂直的證明，屬中檔題．