Question

3．如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH是正方形，則在下列命題中正確的個數(shù)為（　�。�
①AC⊥BD；
②AC∥截面EFGH；
③AC=BD；
④異面直線HF與BD所成的角為45°．

• A． 0
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出EF∥HG，從而EF∥平面BCD．由EF∥AC，得AC∥平面EFGH．同理可得BD∥平面EFGH，BD∥EH．從而得到AC⊥BD．由BD∥HG，得∠FHG是異面直線HF與BD所成的角，且為45°．從而得到BD≠AC．

解答 解：在四面體ABCD中，∵截面EFGH是正方形，
∴EF∥HG，EF?平面BCD，HG?平面BCD，∴EF∥平面BCD．
∵平面ACB∩平面ACD=AC，∴EH∥AC，∴AC∥平面EFGH．
同理可得BD∥平面EFGH，BD∥EF．
∵EF⊥EH，∴AC⊥BD．
∵BD∥HG，
∴∠FHG是異面直線HF與BD所成的角，且為45°．
由上面可知：BD∥EF，EH∥AC．
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{AE}{AD}$，$\frac{EH}{AC}=\frac{DE}{AD}$，
而AE≠DE，EF=EH，∴BD≠AC．
綜上可知：①②④都正確，③錯誤．
故選：C．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．