Question

3．已知f（x）=lg（ax²-2x+1）．
（1）若f（x）的定義域為R，求a的取值范圍；
（2）如f（x）的值域為R，求a的取值范圍；
（3）若f（x）在x∈[2，3]時有意義，且f（x）的最大值與最小值的差等于1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）轉(zhuǎn)化為ax²-2x+1＞0恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解，
（2）理解函數(shù)的值域為R，則ax²-2x+1能取遍所有的正數(shù)，根二次函數(shù)性質(zhì)得出a＞0且△=1-4a≥0．
（3）確定a＞$\frac{3}{4}$，利用f（2）=lg（4a-3），f（3）=lg（9a-5），f（$\frac{1}{a}$）=lg（1-$\frac{1}{a}$），f（x）的最大值與最小值的差等于1．即可求a的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)的定義域為R，
∴ax²-2x+1＞0恒成立．
當a=0時，顯然不成立．
當a≠0時，應(yīng)有a＞0且△=4-4a＜0，
解得 a＞1．
故a的取值范圍為：a＞1，
（2）若函數(shù)的值域為R，則ax²-2x+1能取遍所有的正數(shù)，圖象不能在x軸上方
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-4a≥0}\end{array}\right.$或a=0
解得：0≤a≤1，
故a的取值范圍為[0，1]；
（3）在x∈[2，3]時，ax²-2x+1＞0成立，∴a＞-（$\frac{1}{x}$-1）²+1成立，∴a＞$\frac{3}{4}$，
∵f（2）=lg（4a-3），f（3）=lg（9a-5），f（$\frac{1}{a}$）=lg（1-$\frac{1}{a}$），f（x）的最大值與最小值的差等于1．
∴|f（2）-f（3）|=1或|f（2）-f（$\frac{1}{a}$）|=1或|f（3）-f（$\frac{1}{a}$）|=1，
∴a=$\frac{\sqrt{65}-5}{4}$．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的運用，屬于綜合題目，關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為不等式，理解好二次函數(shù)的性質(zhì)．