Question

11．已知函數(shù)f（x）=x+e^x-a，g（x）=1n（x+2）-4e^a-x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)x₀，使f（x₀）-g（x₀）=3成立，則實(shí)數(shù)a的值為-1-ln2．

Answer 1

分析 令f（x）-g（x）=x+e^x-a-1n（x+2）+4e^a-x，從而可證明f（x）-g（x）≥3，從而解得．

解答 解：令f（x）-g（x）=x+e^x-a-1n（x+2）+4e^a-x，
令y=x-ln（x+2），y′=1-$\frac{1}{x+2}$=$\frac{x+1}{x+2}$，
故y=x-ln（x+2）在（-2，-1）上是減函數(shù)，（-1，+∞）上是增函數(shù)，
故當(dāng)x=-1時(shí)，y有最小值-1-0=-1，
而e^x-a+4e^a-x≥4，
（當(dāng)且僅當(dāng)e^x-a=4e^a-x，即x=a+ln2時(shí)，等號成立）；
故f（x）-g（x）≥3（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r(shí)成立時(shí)，等號成立）；
故x=a+ln2=-1，
即a=-1-ln2．
故答案為：-1-ln2．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用．