Question

2．若函數(shù)f₁（x），f₂（x）滿足${∫}_{-a}^{a}$f₁（x）•f₂（x）dx=0（a＞0），則稱f₁（x），f₂（x）是區(qū)間[-a，a]上的一組Γ函數(shù)，給出下列四組函數(shù)：
①f₁（x）=x²，f₂（x）=x+1；
②f₁（x）=cosx，f₂（x）=tanx；
③f₁（x）=2x-1，f₂（x）=2x+1；
④f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx．
其中是區(qū)間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的Γ函數(shù)的組數(shù)是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用新定義，對(duì)每組函數(shù)求積分，即可得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于①，f₁（x）f₂（x）=x²（x+1）=x³+x²，${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$f₁（x）•f₂（x）dx=${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$（x³+x²）dx=（$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{12}$≠0，故不是Γ函數(shù)，
對(duì)于②，f₁（x）f₂（x）=cosxtanx=sinx，${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$f₁（x）•f₂（x）dx=${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$sinxdx=-cosx|${\;}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$=0，故是Γ函數(shù)，
對(duì)于③，f₁（x）f₂（x）=4x²-1，${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$f₁（x）•f₂（x）dx=${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$（4x²-1）dx=（$\frac{4}{3}$x³-x）|${\;}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{12}$≠0，故不是Γ函數(shù)，
對(duì)于④，f₁（x）f₂（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x，${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$f₁（x）•f₂（x）dx=${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$sin2x）dx=-sin2x|${\;}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$=-（sin1+sin1）=-2sin1≠0，故不是Γ函數(shù)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查微積分基本定理的運(yùn)用，屬于中檔題．