7.已知函數(shù)f(x)對于任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時,f(x)<0,f(1)=-$\frac{1}{4}$.
(Ⅰ)求證f(x)是奇函數(shù);
(Ⅱ)求證:f(x)在R上是減函數(shù);
(Ⅲ)求f(x)在[-4,4]上的最大值和最小值.

分析 (Ⅰ)根據(jù)函數(shù)f(x)的奇偶性的定義,利用賦值法即可得到結(jié)論.;
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f(x)的單調(diào)性;  
(Ⅲ)利用單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系,求函數(shù)的最值即可.

解答 解:(Ⅰ)令y=0,則由條件得f(x+0)=f(x)+f(0),即f(0)=0    
∵f(0)=0,∴令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x),則f(x)是奇函數(shù);
(Ⅱ)設(shè)x1<x2,則設(shè)x2-x1>0,此時f(x2-x1)<0,
即f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)<0,
即f(x2)-f(x1)<0,則f(x2)<f(x1),
即f(x)的單調(diào)遞減;         
 (Ⅲ)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴函數(shù)在[-4,4]上單調(diào)遞減,
∵f(1)=-$\frac{1}{4}$.
∴f(2)=2f(1)=-$\frac{1}{2}$,f(4)=2f(2)=2×$(-\frac{1}{2})$=-1,
則函數(shù)的最小值為f(4)=-1,函數(shù)的最大值為f(-4)=-f(4)=1.

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用,利用賦值法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.

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