Question

12．數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=3ⁿ•$\sqrt{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）判斷數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列，然后求解通項公式．
（2）利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答 （本小題12分）
（1）解：由已知可得$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，…．（2分）
所以是以$\frac{{a}_{1}}{1}$=1為首項，1為公差的等差數(shù)列．得$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）•1=n，
所以a_n=n²，…（4分）
（2）由（1）得a_n=n²，從而b_n=n•3ⁿ…．（5分）
S_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ①
3S_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹②
①-②得：-2S_n=3¹+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{（1-2n）?3^{n+1}-3}{2}$．…．（10分）
所以S_n=$\frac{（2n-1）•3^{n+1}+3}{4}$．…．（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的應用，數(shù)列求和的方法，考查計算能力．