Question

7．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）圖象的一個最高點為（2，$\sqrt{3}$），由這個最高點到相鄰的最低點的圖象與x軸交于點（6，0）
（1）求這個函數(shù)的解析式；
（2）當x∈[0，4]，求f（x）的最大值，最小值，并求出取得最大值、最小值時的x的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得A=$\sqrt{3}$，周期T=$\frac{2π}{ω}$=4（6-2），解得ω代入點的坐標可得φ值，可得解析式；
（2）由x∈[0，4]可得$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，由三角函數(shù)的最值可得．

解答 解：（1）由題意可得A=$\sqrt{3}$，周期T=$\frac{2π}{ω}$=4（6-2），
解得ω=$\frac{π}{8}$，故y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
代入點（6，0）可得0=$\sqrt{3}$sin（$\frac{3π}{4}$+φ），
∴$\frac{3π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，結(jié)合0＜φ＜2π可得φ=$\frac{5π}{4}$，
∴函數(shù)的解析式為y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{5π}{4}$）=-$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）；
（2）∵x∈[0，4]，∴$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴當$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，即x=0或4時，y取最大值-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
當$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=2時，y取最小值-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和解析式，涉及三角函數(shù)的最值，屬中檔題．