Question

1．對a，b∈R，記min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，函數(shù)f（x）=min{-|x|，-x²+4x+6}的最大值是（　　）

• A． 6
• B． 1
• C． 0
• D． $\frac{3-\sqrt{33}}{2}$

Answer 1

分析 討論當-|x|≤-x²+4x+6，當-|x|＞-x²+4x+6，可得f（x）的解析式，再由絕對值函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到所求最大值．

解答 解：當-|x|≤-x²+4x+6，即為
$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{{x}^{2}-5x-6≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{{x}^{2}-3x-6≤0}\end{array}\right.$，
即有0≤x≤6或$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$≤x＜0，
即$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$≤x≤6時，
f（x）=min{-|x|，-x²+4x+6}=-|x|，
當x=0時，取得最大值0；
當-|x|＞-x²+4x+6，即為x＞6或x＜$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$時，
可得f（x）=-x²+4x+6=-（x-2）²+10，
由f（6）=-6，f（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$）=$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，
-6＜$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，可得f（x）的值域為（-∞，$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$）．
即有f（x）的最大值為0．
故選C．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．