Question

5．向量$\overrightarrow a$=（sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（sinx，sinx），$\overrightarrow c$=（-1，0）．
（Ⅰ）若x=$\frac{π}{3}$，求向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow c$的夾角；
（Ⅱ）若x∈$[-\frac{3π}{8}，\frac{π}{4}]$，函數(shù)$f（x）=λ\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最大值為$\frac{1}{2}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x=$\frac{π}{3}$時(shí)，可以求出向量$\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)，然后根據(jù)$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$，從而可以得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$的夾角；
（Ⅱ）進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，從而得到$f（x）=\frac{\sqrt{2}λ}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{λ}{2}$，可以求出$2x-\frac{π}{4}∈[-π，\frac{π}{4}]$，討論λ＞0和λ＜0兩種情況，根據(jù)f（x）的最大值為$\frac{1}{2}$便可建立關(guān)于λ的方程，從而便可求出λ的值．

解答 解：（Ⅰ）$x=\frac{π}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{a}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1•1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{5π}{6}$；
即向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{5π}{6}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=si{n}^{2}x+sinxcosx=\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=\frac{\sqrt{2}λ}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{λ}{2}$；
∵$x∈[-\frac{3π}{8}，\frac{π}{4}]$；
∴$2x-\frac{π}{4}∈[-π，\frac{π}{4}]$；
①若λ＜0，則$2x-\frac{π}{4}=-\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取最大值$-\frac{\sqrt{2}λ}{2}+\frac{λ}{2}=\frac{1}{2}$；
∴$λ=-1-\sqrt{2}$；
②若λ＞0，則$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）取最大值$\frac{\sqrt{2}λ}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{λ}{2}=\frac{1}{2}$；
∴$λ=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，已知三角函數(shù)值求角，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角的正余弦公式，以及正弦函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．