5.向量$\overrightarrow a$=(sinx,cosx),$\overrightarrow b$=(sinx,sinx),$\overrightarrow c$=(-1,0).
(Ⅰ)若x=$\frac{π}{3}$,求向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow c$的夾角;
(Ⅱ)若x∈$[-\frac{3π}{8},\frac{π}{4}]$,函數(shù)$f(x)=λ\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最大值為$\frac{1}{2}$,求λ的值.

分析 (Ⅰ)x=$\frac{π}{3}$時,可以求出向量$\overrightarrow{a}$的坐標,然后根據(jù)$cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$即可求出$cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>$,從而可以得出向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}$的夾角;
(Ⅱ)進行向量數(shù)量積的坐標運算得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值,從而得到$f(x)=\frac{\sqrt{2}λ}{2}sin(2x-\frac{π}{4})+\frac{λ}{2}$,可以求出$2x-\frac{π}{4}∈[-π,\frac{π}{4}]$,討論λ>0和λ<0兩種情況,根據(jù)f(x)的最大值為$\frac{1}{2}$便可建立關(guān)于λ的方程,從而便可求出λ的值.

解答 解:(Ⅰ)$x=\frac{π}{3}$時,$\overrightarrow{a}=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$;
∴$cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1•1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;
∴$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>=\frac{5π}{6}$;
即向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{5π}{6}$;
(Ⅱ)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=si{n}^{2}x+sinxcosx=\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin(2x-\frac{π}{4})+\frac{1}{2}$;
∴$f(x)=\frac{\sqrt{2}λ}{2}sin(2x-\frac{π}{4})+\frac{λ}{2}$;
∵$x∈[-\frac{3π}{8},\frac{π}{4}]$;
∴$2x-\frac{π}{4}∈[-π,\frac{π}{4}]$;
①若λ<0,則$2x-\frac{π}{4}=-\frac{π}{2}$時,f(x)取最大值$-\frac{\sqrt{2}λ}{2}+\frac{λ}{2}=\frac{1}{2}$;
∴$λ=-1-\sqrt{2}$;
②若λ>0,則$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$時,f(x)取最大值$\frac{\sqrt{2}λ}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{λ}{2}=\frac{1}{2}$;
∴$λ=\frac{1}{2}$.

點評 考查向量夾角余弦的坐標公式,已知三角函數(shù)值求角,向量數(shù)量積的坐標運算,二倍角的正余弦公式,以及正弦函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.

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