Question

6．已知函數(shù)f（x）=sinx+cos²x．
（Ⅰ）若α為銳角，且$sin（α-\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}$，求f（α）的值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|≤2在$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由α為銳角，可得$α-\frac{π}{3}$的范圍，結(jié)合$sin（α-\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}$求得α，代入已知函數(shù)解析式求得f（α）的值；
（Ⅱ）把不等式|f（x）-m|≤2在$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上恒成立，轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}m-2≤f{（x）_{min}}\\ m+2≥f{（x）_{max}}\end{array}\right.$，求出f（x）的最值后求解關(guān)于m的不等式組得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵α為銳角，∴$α∈（0，\frac{π}{2}）$，則$α-\frac{π}{3}∈（-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}）$
∵$sin（α-\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}$，∴$α-\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}$，則$α=\frac{π}{6}$，
∴$f（α）=sinα+{cos^2}α=sin\frac{π}{6}+{cos^2}\frac{π}{6}=\frac{1}{2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}=\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）∵|f（x）-m|≤2，∴m-2≤f（x）≤m+2，
∵不等式|f（x）-m|≤2在$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}m-2≤f{（x）_{min}}\\ m+2≥f{（x）_{max}}\end{array}\right.$，
而$f（x）=sinx+{cos^2}x=-{sin^2}x+sinx+1=-{（sinx-\frac{1}{2}）^2}+\frac{5}{4}$，
∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，∴sinx∈[$-\frac{1}{2}，1$]，
∴當(dāng)$sinx=\frac{1}{2}$時，$f{（x）_{max}}=\frac{5}{4}$；當(dāng)$sinx=-\frac{1}{2}$時，$f{（x）_{min}}=\frac{1}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}m-2≤\frac{1}{4}\\ m+2≥\frac{5}{4}\end{array}\right.$，∴$-\frac{3}{4}≤m≤\frac{9}{4}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為$[-\frac{3}{4}，\frac{9}{4}]$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值，考查了函數(shù)恒成立問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．