Question

6．已知a，b∈R⁺，a+b=1，求證：
①（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}$）≥$\frac{25}{4}$；
②（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}$）²≥$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 ①根據(jù)級別不等式的性質(zhì)得到0＜ab≤$\frac{1}{4}$，求出（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}$）=$\frac{{（ab-1）}^{2}+1}{ab}$，代入即可證明；
②根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到$\frac{1}{ab}$≥4，求出（a+$\frac{1}{a}$）2+（b+$\frac{1}$）=2${（\frac{1+\frac{a+b}{ab}}{2}）}^{2}$，代入求出即可證明．

解答 證明：①已知a+b=1，a＞0，b＞0，
∴根據(jù)基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴0＜ab≤$\frac{1}{4}$，
又（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}$）
=$\frac{{a}^{2}+1}{a}$•$\frac{^{2}+1}$
=$\frac{{{a}^{2}b}^{2}-2ab+2}{ab}$
=ab+$\frac{2}{ab}$-2
顯然函數(shù)f（ab）=ab+$\frac{2}{ab}$在（0，$\frac{1}{4}$]遞減，
∴f（ab）_min=f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$+8，
∴ab+$\frac{2}{ab}$-2≥$\frac{1}{4}$+8-2=$\frac{25}{4}$，
∴（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}$）≥$\frac{25}{4}$，
即得（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}$）≥$\frac{25}{4}$；
②∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴ab≤$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{ab}$≥4，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}$）²
≥2${（\frac{a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}}{2}）}^{2}$
=2${（\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}}{2}）}^{2}$
=2${（\frac{1+\frac{a+b}{ab}}{2}）}^{2}$
=2${（\frac{1+\frac{1}{ab}}{2}）}^{2}$
≥2${（\frac{1+4}{2}）}^{2}$
=$\frac{25}{2}$，
即：（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}$）²≥$\frac{25}{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查學生的計算能力，是一道基礎(chǔ)題．