Question

8．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面AA₁B₁B為正方形，側(cè)面BB₁C₁C菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥平面BB₁C₁C，且D是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）若AB=2，求三棱錐B₁-ABC體積．

Answer 1

分析 （1）連接A₁C，與AC₁交于O，連接OD，利用三角形中位線的性質(zhì)，證明A₁B∥OD，利用線面平行的判定定理證明A₁B∥平面AC₁D；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法求解三棱錐B₁-ABC體積即可．

解答 （1）證明：連接A₁C，與AC₁交于O，連接OD，則O是AC₁的中點(diǎn)，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴OD∥A₁B，
∵A₁B?平面ADC₁，OD?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（2）解：設(shè)E是BB₁的中點(diǎn)，連結(jié)CE，則CE⊥BB₁．
∵AB⊥平面BB₁C₁C，
∴AB⊥CE，
∵AB∩BB₁=B，
∴CE⊥平面ABB₁A₁，且CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$．
∴三棱錐B₁-ABC體積=三棱錐C-ABB₁體積=$\frac{1}{3}{S}_{△AB{B}_{1}}•CE$=$\frac{1}{6}$AB²•CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．