Question

正三棱錐的高為1，底面邊長為2

6

．
（1）求棱錐的全面積和體積；
（2）若正三棱錐內(nèi)有一個球與四個面相切，求球的表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于D，連結(jié)并延長AD交BC于E，連結(jié)PE，△ABC是正三角形，AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．由此能求出棱錐的全面積和體積．
（2）設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，由此能求出球的表面積．

解答： 解：（1）如圖，過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于D，
連結(jié)并延長AD交BC于E，連結(jié)PE，△ABC是正三角形，
∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．
∵AB=2

6

，
∴S△ABC=

3

4

×(2

6

)2=6

3

，
DE=

1

3

×

3

2

AB=

2

，PE=

12+( 2 )2

=

3

．
S△PAB=S△PBC=

S

△PCA

=

1

2

×(2

6

)×

3

=3

2

．
∴S全=S側(cè)+S底=3S△PAB+S△ABC=9

2

+6

3

，
∵BD=1，∴VP-ABC=

1

3

•S△ABC•BD=2

3

．
（2）設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，
棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，
則V1+V2+V3+V4=

1

3

r•S全=VP-ABC，
∴r=

3VP-ABC

S全

=

6 3

9 2 +6 3

=

6

-2
∴S球=4πr2=4π(

6

-2)2．

點(diǎn)評：本題考查棱錐的全面積和體積的求法，考查球的表面積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．